Jackie-Innover.github.io

数据是用二进制数表示的

[TOC]

1.1 用二进制数表示计算机信息的原因

想必大家都知道计算机内部是由IC (集成电路) 这种电子部件构成的. CPU和内存也是IC的一种.IC有几种不同的形状, 有的像一条黑色蜈蚣, 在其两侧有数个乃至数百个引脚; 有的像插花用的针盘, 引脚在IC内部并排排列着. IC的所有引脚, 只有直流电压0V和5V两个状态.也就是说, IC的一个引脚, 只能表示两个状态.

IC的这个特性, 决定了计算机的信息数据只能用二进制数来处理. 由于1位 (一个引脚) 只能表示两个状态, 所以二进制的计数方式就变成了0, 1 , 10, 11, 100 …这种形式. 虽然二进制数并不是专门为IC而设计的, 但是和IC的特性非常吻合. 计算机处理信息的最小单位—-位, 就相当于二进制中的一位. 位的英文bit是二进制数位 (binary digit) 的缩写.

IC的一个引脚表示二进制数的1位

二进制数的位数一般是8位, 16位, 32位 ……也就是8的倍数, 这是因为计算机所处理的信息的基本单位是8位二进制数. 8位二进制数被称为一个字节. 字节是最基本的信息计量单位. 位 是最小单位, 字节是基本单位. 内存和磁盘都是用字节单位来存储和读写数据, 使用位单位则无法读写数据, 因此, 字节是信息的基本单位.

字节 (bit) 是由 bite (咬) 一词而衍生出来的词语, 8位 (8 bit) 二进制数, 就类似于 “咬下的一口”, 因此被视为信息的基本单位.

用字节单位处理数据时, 如果数字小于存储数据的字节数, 那么高位上就用0填补. 例如, 100111这个6位二进制数, 用8位 ( = 1 字节) 表示时为00100111, 用16位 ( = 2 字节) 表示时为 0000000000100111.

32位微处理器, 具有32个引脚以用于信息的输入和输出. 也就是说, 一次可以处理32位 ( = 4 字节) 的二进制数信息.

程序中, 即使是用十进制数和文字等记述信息, 在编译后也会转换成二进制数的值, 所以, 程序运行时计算机内部处理的也是用二进制数表示的信息.

计算机内部所有信息都用二进制数处理

对于用二进制数表示的信息, 计算机是不会区分它是数字, 文字, 还是某种图片的模式等, 而是根据编写程序的各位对计算机发出的指示来进行信息的处理 (计算) .

1.2 移位运算和乘除运算的关系

移位运算指的是将二进制数值的各数位进行左右移位 (shift = 移位) 的运算. 移位有左移 (向高位方向) 和 右移 (向低位方向) 两种. 在一次运算中, 可以进行多个数位的移位操作.

将变量a的值左移两位的C语言程序:

a = 39;
b = a << 2;

该示例是 把变量a中保存的十进制数值39左移两位后再将运算结果存储到变量b中.

« 这个运算符表示左移, »表示右移.

左移两位的运算

移位运算也可以通过数位移动来代替乘法运算和除法运算. 例如, 将 00100111左移两位的结果是10011100, 左移两位后数值编程了原来的4倍. 用十进制数表示的话, 数值从39 (00100111) 变成了 156 (10011100), 正好是4倍 (39*4 = 156).

其实, 反复思考几遍后就会发现确实如此. 十进制数左移会变成原来的10 倍, 100倍, 1000倍 ……同样, 二进制数左移后就变成原来的2倍, 4倍, 8倍 …… 反之, 二进制数右移后则会变成原来的1/2, 1/4, 1/8…… 这样一来, 就能理解为什么移位运算能代替乘法运算和除法运算了.

因为位移比乘除速度快, 对效率要求高, 而且满足2的幂次方的乘除运算, 可以采用位移的方式计算.

1.3 便于计算机处理的 “补数”

左移空出来的低位补0, 右移空出来的高位则有 0 和 1 两种形式. 要想区分什么时候补0什么时候补1, 只需要掌握二进制数是如何表示负数的方法即可.

二进制数中表示负数值时, 一般会把最高位作为符号来使用, 因此我们把这个最高位成为符号位. 符号位是0时表示整数, 符号位是1时表示负数.

那么,-1用8位二进制数来表示的话是什么样的呢? 可能有很多人会认为 “1” 的二进制数是 00000001, 因此 - 1 就是 10000001, 但这个答案是错的, 正确答案是 11111111.

计算机在做减法运算时, 实际上内部是在做加法运算. 用加法运算来实现减法运算, 是不是很新奇呢? 为此, 在表示负数时就需要使用 “二进制的补数”. 补数就是用正数来表示负数, 很不可思议吧.

为了获得补数, 我们需要将二进制数的各数位的数值全部取反, 然后再将结果加1. 例如, 用8位二进制数表示 -1 时, 只需求得1, 也就是 00000001的补数即可. 具体来说, 就是将各数位的0取反成1, 1取反成0, 然后再将取反的结果加1, 最后就转化成了11111111.

获取00000001的补数的方法

补数的思考方式, 虽然直观上不易理解, 但逻辑上却非常严谨.

例如, 1 - 1 , 也就是 1 + ( - 1 )这一运算, 我们都知道答案是0. 首先让我们将 - 1 表示成 10000001 (错误的表示方法) 来运算, 看看结果如何.

00000001 + 10000001 = 10000010, 很明显结果并不是0, 如果结果是0, 那么所有的数位都应该是0才对.

负数表示有误时的情况

接下来, 让我们把-1表示成11111111(正确的表示方法) 来进行运算. 00000001 + 11111111 确实是0 ( = 00000000). 这个运算出现了最高位溢出的情况. 不过, 对于溢出的位, 计算机会直接忽略掉. 在8位的范围内进行计算时, 100000000这个9位的二进制数就会被认为是00000000这一8位二进制数.

负数表示正确时的情况

补数求解的变换方法就是 “取反 + 1”.为什么使用补数后就能正确的表示负数了呢?

希望大家牢记”将二进制数的值取反后加1的结果, 和原来的值相加, 结果为0” 这一法则, 总之, 要想使结果为0, 就必须通过补数来实现.

当然, 结果不为0的运算同样可以通过使用补数来得到正确的结果. 不过, 有一点需要注意, 当运算结果为负数时, 结算结果也是以补数的形式来表示的. 比如, 3 - 5 这个运算, 用8位二进制数表示3时是 00000011, 而5 = 00000101 的补数为 “取反+1”, 也就是11111011, 因此 3 - 5 其实就是 00000011 + 11111011 的运算 = 11111110, 最高为是1 , 表示这个结果是个负数, 那么11111110表示的负数是多少呢? 我们可以利用负负得正这个性质来知道它的值. 11111110的补数, 同样取反+1, 得到 00000001+1 = 00000010, 也就是十进制的2, 所以 11111110表示的就是 - 2 .

所以, 3 - 5 的结果是 -2.

3-5的运算结果

编程语言包含的整数类型中, 有的可以处理负数, 有的则不能处理负数. 例如, C语言的数据类型中, 既有不能处理负数的unsigned short 类型, 也有能处理负数的short类型. 这两种类型, 都是2字节 (= 16位) 的变量, 都能表示2的16次幂 = 65535种值, 这一点是相同的. 不过值的范围有所不同, short类型值是 -32768 ~ 32767, unsigned short类型是 0~65535. short类型和unsigned类型的另一个不同点在于, short类型是将最高位为1的数值看作补数, 而unsigned short类型这是 32768以上的值.

仔细思考一下补数的机制, 大家就会明白想 -32768~32767这样负数比整数多一个的原因了. 最高位是0的整数, 有 0 ~ 32767共 32768个, 这其中也包含0. 最高位是1的负数, 有-1 ~ 32768共32768个, 这其中不包含0. 也就是说, 0包含在正整数范围内. 所以 负数要比整数多一个. 虽然0不是正数, 但考虑到符号位, 就将其划到了正数中.

1.4 逻辑右移和算数右移的区别

右移有移位后在最高位补0和补1两种情况, 当二进制数的值表示图形模式而非数值时, 移位后需要在最高位补0.类似于霓虹灯往右滚动的效果, 这就称为逻辑右移.

图形模式的右移

将二进制数作为带符号的数值进行运算时, 移位后要在最高位填充移位前符号的值 (0或1) , 这就称为算术右移.

如果数值是用补数表示的负数值, 那么右移后在空出来的最高位补1, 就可以正确地实现1/2, 1/4, 1/8等的数值元算. 如果是正数, 是需要在最高位补0即可.

逻辑右移和算术右移的区别

上图, 将 -4 (=11111100) 右移两位, 逻辑右移的情况下, 结果会变成00111111, 也就是十进制数63, 显然不是-4的1/4.

算术右移的情况下, 结果就变成了11111111, 也就是补数表示的-1, 即-4的1/4.

只有在右移时才需要区分逻辑移位和算术移位. 左移时, 无论是图形模式 (逻辑左移) 还是相乘运算 (算术左移), 都是需要在空出来的低位补0即可.

由8位转换成16位的符号扩充方法

符号扩充: 以8位二进制数为例, 符号扩充就是在保持值不变的前提下, 将其转换成16位和32位的二进制数. 将01111111这个正的8位二进制数转换成16位二进制数时, 很容易就能得出0000000001111111这个结果, 但是像11111111这样用补数来表示的数值, 该如何处理呢? 实际上处理方法也很简单, 将其表示成1111111111111111就可以了, 也就是说, 不管是正数还是用补数表示的负数, 都只需要用符号位的值 (0或1) 填充高位即可. 这就是符号扩充的方法.

1.5 掌握逻辑运算的窍门

计算机能处理的运算, 大体可以分为算术运算和逻辑运算.

算术运算是指加减乘除四则运算.

逻辑运算是指对二进制数各数字的0和1分别进行处理的运算, 包括逻辑非 (NOT运算), 逻辑与 (AND运算), 逻辑或(OR运算)和逻辑异或(XOR 或者EOR)运算四种.

XOR是英语 exclusive or 的缩写. 有时也将XOR称为EOR.

逻辑非指的是0变成1, 1变成0的取反操作.

逻辑与指的是 “两个都是1”时, 运算结果为1. 其他情况下运算结果都为0.

逻辑或指的是”至少有一个是1”, 运算结果为1, 其他情况下的运算结果都是0.

逻辑异或指的是排斥相同数值的运算, “两个数值不同”, 也就是说, 当”其中一方是1, 另一方是0”时运算结果是1, 其他情况下结果都是0.

不管是几位的二进制数, 在进行逻辑运算时, 都是对相对应的各数位分别进行运算.

逻辑运算真值表.png